例えば店の徒歩圏内に\(n\)人が住んでいるとして、ある時間内に客が店に行こうとする確率を\(p\)とする。このとき、\(k\)人が店に行く確率はそれぞれが行くか行かないかの二値の結果で表されるので、 \(k\)人が店に行く確率は二項分布で表される; \[P(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] ここで、\(n \to \infty\)、\(p \to 0\)の極限をとると \[ P(k) \to e^{-\mu} \frac{\mu^k}{k!} \] のようにポアソン分布に近づく。ここで\(\mu=np\)とした。例えば平均して単位時間あたり\(\lambda\)人が店に行くなら、ポアソン過程、十分大きなnについて\(p\sim\frac{\lambda t}{n}\)と近似できる(詳細はいつか)。
時間t以内に\(k\)人が店に行く確率は \[P(k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\] 例えば平均して1 時間に10人が来る店なら30分以内に7人が店に行く確率は概ね \[P(7)=e^{-10\times 0.5}\frac{(10\times 0.5)^7}{7!}=0.104\] \] 実測